希尔伯特和他的学生阿克曼合著的《数理逻辑原理》中提到了这样一个问题：在形式系统中，真的命题是否都是可证明的？希尔伯特实际想问的是，数学中是否存在自相矛盾的真命题呢？
1931年，哥德尔提出了不完备性定理并予以证明：
- 任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在至少一个命题：它在这个系统中既不能被证明也不能被证否。
- 如果一个形式系统含有初等数论，当该系统自洽（所有公理都不互相矛盾）时，它的自洽性不可能在该系统内证明。
哥德尔不完备性定理表明，与皮亚诺公理所定义的自然数一致的公理系统是不完备的，除非系统中存在皮亚诺自然数自相矛盾的形式（如图A）。这种矛盾着的自然数是整个宇宙内部物质相互作用的数学形式表现（其作用与反作用总是大小相等方向相反），但它的真实存在性和逻辑存在性都不能用皮亚诺自然数公理推出或证明。能够证明宇宙自然数存在性的方法，一定与皮亚诺公理的方法不一致。为了定量刻画（描述）一个完备的物质实在系统，数学必然需要一次最深刻的颠覆式革命。
图A 完备的宇宙自然数
希尔伯特《论无限（On The Infinite）》一文中指出：“事实上，在我们的思想中，已经有一些可以作为应用逻辑推理和实现逻辑处理方法的先决条件的东西，这就是：某些逻辑以外的具体客体，这些客体是直观上作为直接经验而先于一切思维所已存在着的。要使逻辑推理可靠，那就必须对这些客体的所有部分都能完全一目了然，而它们的显示，它们的区别，它们的前后连接或左右并列，则和客体一同是所给予我们的直接直观的东西，这些东西已不可能再简化为其他东西或者需要再加以简化。”
亚里士多德认为：“数及几何形状也是实物的属性，它是通过抽象思维为人所认识的，但它们是从属于实物的”。可以证明，图A是宇宙物质量子化过程最终状态的形数结合几何学形式表现。